Abb.1 Abb.2

Dieses weiße Dreieck beinhaltet eine gewisse Anzahl von Netzmaschen (kleinen Dreiecken), wie es die Abb.2 zeigt.
Die Fläche der blauen Figur ist gleich wie die Fläche des weißen Dreiecks.

Die Anzahl der kleinen Dreiecken in der blauen Figur kann man nach folgender Formel berechnen:

N = m² + m n + n²

 

Für Klasse II, wo  m = n:
N = 3m²

	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
n=0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
n=1	3	7	13	21	31	43	57	73	91	111
n=2	7	12	19	28	39	52	67	84	103	124
n=3	13	19	27	37	49	63	79	97	117	139
n=4	21	28	37	48	61	76	93	112	133	156
n=5	31	39	49	61	75	91	109	129	151	175
n=6	43	52	63	76	91	108	127	148	171	196
n=7	57	67	79	93	109	127	147	169	193	219
n=8	73	84	97	112	129	148	169	192	217	244
n=9	91	103	117	133	151	171	193	217	243	271
n=10	111	124	139	156	175	196	219	244	271	300

Im Beispiel der Abb.2 ist m=3 und n=2. N beträgt 19. Diese 19 Dreiecke projiziert man auf eine Seitenfläche des Ikosaeders, dann auf eine Kugel, und man hat ein Segment der Kuppel. 20 Segmente bilden eine Geosphäre mit 20 * 19 = 380 Dreiecken.
Bei n=0 (Klasse I) und n=m (Klasse II) sind die Kuppeln symmetrisch, sonst haben wir zwei chirale Formen: linke und rechte, spiegelbildlich gleich (Klasse III).

Die Anzahl der Dreiecke  F  auf der ganzen Kuppel beträgt:  
F = 20 * N 
Die Kantenanzahl  K  lässt sich so berechnen: jedes Dreick beinhaltet 3 Kanten, aber zwei benachbarte Dreiecke haben eine gemeinsame Kante, also
K = 3 * F/2 
Die Anzahl der Ecken  E  der Kuppel kann man dann nach dem Eulerschen Polyedersatz  (E + F = K + 2) berechnen:
E = K - F + 2 
oder

E = F/2 + 2 

Eine Excel-Tabelle mit Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken, abhängig von  m  und  n,  kann man  hier  downloaden.

Eine bekannte geodätische Kuppel ist La Geode in Paris. Bei der ist m=20, n=0, F=8000, K=12000 und E=4002.  Ihr Durchmesser beträgt 36 m.

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© Tadeusz E. Dorozinski
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Erstellt: Februar 2000
Stand 15.08.2024