Geosphären mit Fünf- und Sechsecken (Goldberg-Polyeder)

Interessant sind auch Kuppeln, wo nur  Fünf- und Sechsecken als Seitenflächen vorkommen, wobei die Fünfecken immer regelmäßig sind und dessen Anzahl 12 beträgt.
Übrige Seitenflächen sind sechseckig.  Die Sechsecke sind meistens unregelmäßig. Sie sind auch als Goldberg-Polyeder bekannt.
Die kleinste solche Kuppel ist das
abgestumpftes Ikosaeder mit 12 Fünf- und 20 regelmäßigen Sechsecken.

Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln aus Dreiecken.

Umrechnung

Drei Typen solchen Kuppeln kann man unterscheiden:

   Typ I, wo die Fünfecke gleiche Lage  wie im Dodekaeder haben (lila Fünfecke in oberen Bildern). Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse I.
   Typ II, wo die Fünfecke gleiche Lage  wie im abgestumpften Ikosaeder haben (rote Fünfecke in oberen Bildern).
Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse II.
   Typ III, Kuppeln ohne Symmetrieebenen. Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse III (siehe unten).

Anzahl der Seitenflächen einer Kuppel kann man aus folgenden Formeln errechnen:

Klasse I:    Fn = 10 * n * (n - 2) + 12,  wobei n =>3 ist.
Klasse II:  
Fn,n = 30 * n * (n - 2) + 32,  wobei m = n =>2 ist. 
Klasse III:  Fm,n = 10 * (m² + m n + n²) + 2

So bekommen wir entsprechend :

  =  Kuppel als o2c-Objekt.

Klasse  I:
     
F3  =    42   
     
F4  =    92   
     
F5  =  162   
     
F6  =  252   
     
F7  =  362   
     
F8  =  492   
     
F9  =  642   
     
F10 =  812 
     
F11 =1002 

Klasse II:
     
F2  =     32   
     
F3  =   122   
     
F4  =   272   
      F5  =   482   
     
F6  =   752   
     
F7  = 1082 
     
F8  = 1472 
     
F9  = 1922  

Klasse III:
     
F2,1  =     72   
     
F3,1  =   132   
      F3,2  =   192   
     
F4,1  =   212   
     
F4,2  =   282   
     
F5.1  =   312    
     
F6,1  =   432    
     
F7,1  =   572 
     
F8,1  =   732 
     
F9,1  =   912  

 und  so weiter.

Hinweis:

Anzahl der Ecken kann man dann aus dieser  Formel errechnen:

    E = 2F - 4

 und  dann auch Anzahl der Kanten aus dem Eulerschen Polyedersatz:

    K = E + F - 2

oder

    K = 3F - 6


Klasse III - Beispiele

Animierte Beispiele



Equilaterale Kuppeln

Man kann Sechsecke in diesen Kuppeln so verändern, dass alle Kanten gleich lang werden. Leider, die Rundheit leidet ein wenig darunter. Hier drei Beispiele: 


Atypische Kuppel


Stand: 04.12.2020