Kuppeln mit Fünf- und Sechsecken

Interessant sind auch Kuppeln, wo nur  Fünf- und Sechsecken als Seitenflächen vorkommen, wobei die Fünfecken immer regelmäßig sind und dessen Anzahl 12 beträgt.
Übrige Seitenflächen sind sechseckig.  Die Sechsecke sind meistens unregelmäßig.
Die kleinste solche Kuppel ist das
abgestumpftes Ikosaeder mit 12 Fünf- und 20 regelmäßigen Sechsecken.

Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln aus Dreiecken.

Drei Typen solchen Kuppeln kann man unterscheiden:

   Typ I, wo die Fünfecke gleiche Lage  wie im Dodekaeder haben (lila Fünfecke in oberen Bildern). Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse I.
   Typ II, wo die Fünfecke gleiche Lage  wie im abgestumpften Ikosaeder haben (rote Fünfecke in oberen Bildern).
Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse II.
   Typ III, Kuppeln ohne Symmetrieebenen. Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse III (siehe unten).

Anzahl der Seitenflächen einer Kuppel kann man aus folgenden Formeln errechnen:

   Typ I:  Fn = 10 * n * (n - 2) + 12,  wobei n =>3 ist.
   Typ II:  
Fn = 30 * n * (n - 2) + 32,  wobei n =>2 ist. 

Die Variable 'n' bedeutet 'die Frequenz', und die kann Werte der natürlichen Zahlen annehmen,  z. B. 2, 3, 4, ... 


So bekommen wir entsprechend :

Typ  I:
     
F3  =    42   
     
F4  =    92   
     
F5  =  162   
     
F6  =  252   
     
F7  =  362   
     
F8  =  492   
     
F9  =  642   
     
F10 =  812 
     
F11 =1002 

Typ II:
     
F2  =     32   
     
F3  =   122   
     
F4  =   272   
      F5  =   482   
     
F6  =   752   
     
F7  = 1082 
     
F8  = 1472 
     
F9  = 1922  

 und  so weiter.

Hinweis:

  =  Kuppel als o2c-Objekt.

Anzahl der Ecken kann man dann aus dieser  Formel errechnen:

      E = 2 * (F - 12) + 20 

 und  dann auch Anzahl der Kanten aus dem Eulerschen Polyedersatz:

      K = E + F - 2    

bzw. aus dieser Formel:

     K = 3 * (F - 12) + 30 .


Typ III - Beispiele


Atypische Kuppel


Stand: 24.08.2016