Kuppeln mit Fünf- und Sechsecken II

Man kann es leicht zeigen, dass in  Kuppeln, wo nur  Fünf- und Sechsecken als Seitenflächen vorkommen, die Anzahl der Fünfecken immer 12 beträgt.

Nach dem Eulerschen Polyedersatz:

    E + F = K - 2                      (1)

Da in jeder Ecke drei Kanten sich treffen, haben wir:

    3*E = 2*K                          (2) 

Es seien  F₅ und F₆  entsprechend die Anzahl der Fünf- und Sechsecke. Also:

    F = F₅ + F₆                        (3)

 und natürlich:

    5*F₅ + 6*F₆ = 2*K             (4) 

Wir multiplizieren beide Seite von (1) durch 6  und beide Seite von (2) durch 2. Daraus folgt:

    6*F = 2*K - 12                   (5)

und nach (3) und (4) erhalten wir schließlich: 

     F₅ = 12 .

Folglich die Anzahl der Sechsecke könnte eine beliebige, natürliche Zahl sein. Aber nicht alle Zahlen können in solchen Kuppeln vorkommen.