Geodätische KUPPELN  

Kurze Einführung in die Konstruktion


Hier ein Beispiel der Konstruktion einer Kuppel des Typs m, n=0  (Klasse I).
Die Kuppeln mit der Frequenz
m<7 kann man relativ leicht mit den Methoden der darstellenden Geometrie konstruieren.
Ab 
m=7 ist es am besten so vorzugehen:

Als Ausgangsform fungiert das Ikosaeder.
Es genügt nur ein Segment zu konstruieren, da die anderen gleich sind.

Auf einer Seite des Ikosaeders wird ein Kugeldreieck ABC gebildet,  das auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Mittelpunkt O liegt (Abb. 1)

 
Abb.1  

Die drei Bögen AB, BC und AC werden in m gleiche Teile untergeteilt (Methode II). In unserem Beispiel ist m = 7 (Abb. 2)
Hinweis: nach der Methode I wird das Dreieck ABC in kleine, gleiche Dreiecke untergeteilt und deren Eckpunkte werden auf die Kugeloberfläche projiziert.
Die Methode I ist einfacher als die Methode II, liefert aber mehr unterschiedlichen Kantenlängen.

 
Abb.2

Durch die Punktepaare 1'-6'', 2'-5'' usw. zeichnen wir die Großkreise mit dem Mittelpunkt O. 
Die Bögen innerhalb des Kugeldreiecks ABC bilden ein Netz (Abb. 3
, gelb)

      Mauscursor auf das Bild = Segment optimiert


Abb. 3 und 4

Jeweils drei Bögen bilden innerhalb des Kugeldreiecks ABC keine richtige Knotenpunkte, sondern kleine Kugeldreiecke.
Die Mittelpunkte diesen Dreiecken sind die gesuchten Ecken unseren Segments (Abb. 4, weiß).

Die oben beschriebene Operationen kann am besten mit  Hilfe des Computers  durchführen.
Ich mache es mit einem  kleinen Basic-Programm. 

Abb. 5 zeigt das Prinzip der Methode I, wobei hier m = 4.

Abb. 5

Das Dreieck ABC ist in 16 kleinen, gleichseitigen Dreiecken aufgeteilt, deren Eckpunkte auf die Kugeloberfläche projiziert werden.

*****

Die Dreiecke im Segment sind natürlich nicht alle gleich. Da so ein Segment symmetrisch aufgebaut ist, kommen einige Dreiecke dreimal, andere sechsmal vor.
Wenn
m eine Zahl vom Typ 3i-1 ist, wobei i = 0, 1, 2 ..., dann in der Mitte des Segments befindet sich ein einziges gleichseitiges Dreieck.
Je größer
m ist, desto größer ist die Anzahl der Dreieckstypen, die wir mit t bezeichnen.

Für die Kuppeln der Klasse I kann die Anzahl der Dreieckstypen t (abhängig vom m) nach folgenden zwei Formeln berechnet werden:

Wenn m durch 3 teilbar ist, dann:

(1)   t(m) = m *(m + 3) / 6

sonst:

(2)   t(m) = (m + 1)*(m + 2) / 6

Für die Kuppeln der Klasse II, wo m = n  kann die Anzahl der Dreieckstypen t (abhängig vom n) nach folgender  Formel berechnet werden:

(3)   t(n) = n *(n + 1) / 2


Die Kuppeln der Klasse I kann man nach einfacheren Methode I oder komplizierteren Methode II (siehe oben) erzeugen. 
Die Resultate der beiden Methoden sind nicht gleich. Frage ist: welche Methode liefert gleichmäßigere Unterteilung in Dreiecke?
Die Antwort bekommt man, wenn man die vergleicht.

Vergleich der Methode I und II


Literatur:

1. Hugh Kenner  Geodesic Math and How to Use It  University of California Press, Berkeley 1976
2. Magnus J. Wenninger  Spherical Models  Dover Publications, New York 1979
3. Jacek Fulinski  Geometria kratownic powierzchniowych  Prace Wroc
ławskiego Towarzystwa Naukowego, Wrocław 1973
4. Jacek Fulinski, Tadeusz Kolendowicz  Kszta
łtowanie geometryczne niektórych kopuł geodezyjnych  Zeszyty naukowe Politechniki Wrocławskiej 1973

Links:

Wikipedia deutsch 
Wikipedia englisch
 
Wikipedia französisch
 
Tutorial von Jürgen Meier
 


© Tadeusz E. Dorozinski

Stand: 06.03.2010