Polygon

Pierścieniowe ułożenia wielokątów foremnych na płaszczyźnie

1. Ułożenia regularne

2. Ułożenia demiregularne

3. Przekształcenia ułożeń

4. Multi pierścienie

5. Parkietaże z użyciem pierścieni

1. Ułożenia regularne

Mając dowolną ilość jednakowych wielokątów foremnych, np. sześciokątów, możemy je na różne sposoby regularnie ułożyć na płaszczyźnie.
Możliwe są ułożenia skończone, jak i nieskończone, np. parkietaże (rys. 1).

Rys. 1

Jak widzimy na rys. 1, w parkietażu sześciokątnym można wybrać sześć sześiokątów, które tworzą regularny pierścień.

Ułożenia skończone w formie regularnych pierścieni zawierają kilka ciekawych aspektów.

Taki piercień z wieloboków można dla zobrazowania porownać do atolu na oceanie z laguną w jego wnętrzu.
Każdy wielokąt ma dwa boki wspólne z sąsiednimi wielokątami, a pozostałe boki stanowią "linię brzegową". Łatwo zauważyć, że każdy wielobok ma dłuższy brzeg z "oceanem" niż z "laguną".
Stąd pierwszy wniosek: aby zbudować pierścień, wielokąt musi być przynajmniej pięciokątem foremnym (dlaczego?).

Próba budowy pierścienia z pięciokątów foremnych powiedzie sie (rys. 2).

Rys. 2

Potrzebowaliśmy 10 pieciokątów i wobec tego laguna ma kształt 10-kąta foremnego.

Rys. 3

Na rys. 3 widzimy pierścień zbudowany z ośmiu ośmiokątów foremnych. Tu każdy wielokąt ma dwa boki wspólne z laguną i cztery z oceanem, a laguna jest 16-bokiem gwiaździstym.

Nasuwa się pytanie: jakie pierścienie są możliwe?

Aby na to pytanie odpowiedzieć, musimy przyjąć pewną systematykę.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:

n - liczba boków wielokąta foremnego,
t - liczba bokow wspólnych wielokąta z laguną. Liczba ta charakteryzuje typ pierścienia,
k - liczba wielokątów foremnych w pierścieniu.

Te trzy parametry, które są liczbami naturalnymi, charakteryzują każdy pierscień regularny.
Będziemy więc oznaczać go: n-t-k. Zatem pierscień z rys. 2 ma oznaczenie 5-1-10, a z rys. 3 8-2-8.
Liczba boków laguny jest iloczynem k i t.

Dla możliwych pierścieni zachodzą następujące zależności miedzy tymi trzema parametrami:

(1) t < (n-2) / 2

(2) k = 2n / (n-2t-2) przy czym k ≥ 3, n ≥ 2t+3 i n ≤ 6t+6

Z zależnosci (1) i (2) wynika, że istnieją cztery pierścienie typu 1 (Rys. 4), sześć pierścieni typu 2 (Rys. 5), pięć typu 3 (Rys. 6), sześć typu 4, siedem typu 5 itd.
Znajdziemy je rozwiązując równanie (2) w liczbach naturalnych.

Plik PDF do tego

GeoGebra Aplikacja - autor Georg Wengler

Rys. 4

Rys. 5

Rys. 6

Rys. 7

Poniżej tabela z wartościami k dla t od 1 do 5 i dla n od 5 do 36

k = 2 n / (n - 2 t + 2)
		t
		1	2	3	4	5
n	5	10
	6	6
	7	14/3	14
	8	4	8
	9	18/5	6	18
	10	10/3	5	10
	11	22/7	22/5	22/3	22
	12	3	4	6	12
	13		26/7	26/5	26/3	26
	14		7/2	14/3	7	14
	15		10/3	30/7	6	10
	16		16/5	4	16/3	8
	17		34/11	34/9	34/7	34/5
	18		3	18/5	9/2	6
	19			38/11	38/9	38/7
	20			10/3	4	5
	21			42/13	42/11	14/3
	22			22/7	11/3	22/5
	23			46/15	46/13	46/11
	24			3	24/7	4
	25				10/3	50/13
	26				13/4	26/7
	27				54/17	18/5
	28				28/9	7/2
	29				58/19	58/17
	30				3	10/3
	31					62/19
	32					16/5
	33					22/7
	34					34/11
	35					70/23
	36					3