Pierścieniowe ułożenia wielokątów foremnych na płaszczyźnie

1. Ułożenia regularne

2. Ułożenia demiregularne

3. Przekształcenia ułożeń

4. Multi pierścienie

5. Parkietaże z użyciem pierścieni


1. Ułożenia regularne

 Mając dowolną ilość jednakowych wielokątów foremnych, np. sześciokątów, możemy je na różne sposoby regularnie ułożyć na płaszczyźnie.
 Możliwe są ułożenia skończone, jak i nieskończone, np. parkietaże (rys. 1). 


Rys. 1

Jak widzimy na rys. 1, w parkietażu sześciokątnym można wybrać sześć sześiokątów, które tworzą regularny pierścień. 

Ułożenia skończone w formie regularnych pierścieni zawierają kilka ciekawych aspektów.

Taki piercień z wieloboków można dla zobrazowania porownać do atolu na oceanie z laguną w jego wnętrzu.
Każdy wielokąt ma dwa boki wspólne z sąsiednimi wielokątami, a pozostałe boki stanowią "linię brzegową". Łatwo zauważyć, że każdy wielobok ma dłuższy brzeg z "oceanem" niż z "laguną".
Stąd pierwszy wniosek: aby zbudować pierścień, wielokąt musi być przynajmniej pięciokątem foremnym (dlaczego?).

Próba budowy pierścienia z pięciokątów foremnych powiedzie sie (rys. 2). 


Rys. 2

Potrzebowaliśmy 10 pieciokątów i wobec tego laguna ma kształt 10-kąta foremnego.


Rys. 3

Na rys. 3 widzimy pierścień zbudowany z ośmiu ośmiokątów foremnych. Tu każdy wielokąt ma dwa boki wspólne z laguną i cztery z oceanem, a laguna jest 16-bokiem gwiaździstym.


Nasuwa się pytanie: jakie pierścienie są możliwe?

Aby na to pytanie odpowiedzieć, musimy przyjąć pewną systematykę.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:

n  -  liczba boków wielokąta foremnego,
t   -  liczba bokow wspólnych wielokąta z laguną. Liczba ta charakteryzuje typ pierścienia,
k  -  liczba wielokątów foremnych w
pierścieniu.

Te trzy parametry, które są liczbami naturalnymi, charakteryzują każdy pierscień regularny.
Będziemy więc oznaczać go: n-t-k. Zatem pierscień z rys. 2 ma oznaczenie 5-1-10, a z rys. 3  8-2-8.
Liczba boków laguny jest iloczynem k i t.

Dla możliwych pierścieni zachodzą następujące zależności miedzy tymi trzema parametrami:

(1)   t < (n-2) / 2  

(2)   k = 2n / (n-2t-2)     przy czym  k ≥ 3,  n ≥ 2t+3  i  n ≤ 6t+6 

Z zależnosci (1) i (2) wynika, że istnieją cztery pierścienie typu 1 (Rys. 4), sześć pierścieni typu 2 (Rys. 5), pięć typu 3 (Rys. 6), sześć typu 4, siedem typu 5 itd.
Znajdziemy je rozwiązując równanie (2) w liczbach naturalnych.

Plik  PDF  do tego

GeoGebra Aplikacja - autor Georg Wengler


Rys. 4


Rys. 5


Rys. 6


Rys. 7

Poniżej tabela z wartościami k dla t od 1 do 5 i dla n od 5 do 36

 k = 2 n / (n - 2 t + 2)
    t
1 2 3 4 5
n 5 10        
6 6        
7 14/3 14      
8 4 8      
9 18/5 6 18    
10 10/3 5 10    
11 22/7 22/5 22/3 22  
12 3 4 6 12  
13   26/7 26/5 26/3 26
14   7/2 14/3 7 14
15   10/3 30/7 6 10
16   16/5 4 16/3 8
17   34/11 34/9 34/7 34/5
18   3 18/5 9/2 6
19     38/11 38/9 38/7
20     10/3 4 5
21     42/13 42/11 14/3
22     22/7 11/3 22/5
23     46/15 46/13 46/11
24     3 24/7 4
25       10/3 50/13
26       13/4 26/7
27       54/17 18/5
28       28/9 7/2
29       58/19 58/17
30       3 10/3
31         62/19
32         16/5
33         22/7
34         34/11
35         70/23
36         3

Ułamkowe wartości k prowadzą do pierścieni, w których wieloboki wielokrotnie nakrywają się częściowo.
Tabela zawiera kilka odsyłaczy z przykładami.

Pierścień 7-2-14 można wypełnić rombami:

a pierścień 12-4-12 tak:

 


2. Ułożenia demiregularne


3. Przekształcenia ułożeń 


4. Multi pierścienie


5. Parkietaże z użyciem pierścieni

Parkietaż z pierścieni 7-2-14, siedmiokątów foremnych, pięcioboków nieregularnych (2 typy) i wieloboków gwieździstych o 14 ramionach.

4 parkietaże z pierścieni n-t-6:



© Tadeusz E. Dorozinski
w
roku 2008

E-Mail:  info@3doro.de

Stand: 21.04.2015

Startseite