Polygon

Pierścieniowe ułożenia wielokątów foremnych na płaszczyźnie

1. Ułożenia regularne

Mając dowolną ilość jednakowych wielokątów foremnych, np. sześciokątów, możemy je na różne sposoby regularnie ułożyć na płaszczyźnie.
Możliwe są ułożenia skończone, jak i nieskończone, np. parkietaże (rys. 1).

Rys. 1

Jak widzimy na rys. 1, w parkietażu sześciokątnym można wybrać sześć sześiokątów, które tworzą regularny pierścień.

Ułożenia skończone w formie regularnych pierścieni zawierają kilka ciekawych aspektów.

Taki piercień z wieloboków można dla zobrazowania porownać do atolu na oceanie z laguną w jego wnętrzu.
Każdy wielokąt ma dwa boki wspólne z sąsiednimi wielokątami, a pozostałe boki stanowią "linię brzegową". Łatwo zauważyć, że każdy wielobok ma dłuższy brzeg z "oceanem" niż z "laguną".
Stąd pierwszy wniosek: aby zbudować pierścień, wielokąt musi być przynajmniej pięciokątem foremnym (dlaczego?).

Próba budowy pierścienia z pięciokątów foremnych powiedzie sie (rys. 2).

Rys. 2

Potrzebowaliśmy 10 pieciokątów i wobec tego laguna ma kształt 10-kąta foremnego.

Rys. 3

Na rys. 3 widzimy pierścień zbudowany z ośmiu ośmiokątów foremnych. Tu każdy wielokąt ma dwa boki wspólne z laguną i cztery z oceanem, a laguna jest 16-bokiem gwiaździstym.

Nasuwa się pytanie: jakie pierścienie są możliwe?

Aby na to pytanie odpowiedzieć, musimy przyjąć pewną systematykę.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:

n - liczba boków wielokąta foremnego,
t - liczba bokow wspólnych wielokąta z laguną. Liczba ta charakteryzuje typ pierścienia,
k - liczba wielokątów foremnych w pierścieniu.

Te trzy parametry, które są liczbami naturalnymi, charakteryzują każdy pierscień regularny.
Będziemy więc oznaczać go: n-t-k. Zatem pierscień z rys. 2 ma oznaczenie 5-1-5, a z rys. 3 8-2-16.
Liczba boków laguny jest iloczynem k i t.

Dla możliwych pierścieni zachodzą następujące zależności miedzy tymi trzema parametrami:

(1) t < (n-2) / 2

(2) k = 2n / (n-2t-2) przy czym k ≥ 3, n ≥ 2t+3 i n ≤ 6t+6

Z zależnosci (1) i (2) wynika, że istnieją cztery pierścienie typu 1 (Rys. 4), sześć pierścieni typu 2 (Rys. 5), pięć typu 3 (Rys. 6), sześć typu 4, siedem typu 5 itd.
Znajdziemy je rozwiązując równanie (2) w liczbach naturalnych.

Rys. 4

Rys. 5

Rys. 6

Poniżej tabela z wartościami k dla t od 1 do 5 i dla n od 5 do 36

k = 2 n / (n - 2 t + 2)
		t
		1	2	3	4	5
n	5	10
	6	6
	7	14/3	14
	8	4	8
	9	18/5	6	18
	10	10/3	5	10
	11	22/7	22/5	22/3	22
	12	3	4	6	12
	13		26/7	26/5	26/3	26
	14		7/2	14/3	7	14
	15		10/3	30/7	6	10
	16		16/5	4	16/3	8
	17		34/11	34/9	34/7	34/5
	18		3	18/5	9/2	6
	19			38/11	38/9	38/7
	20			10/3	4	5
	21			42/13	42/11	14/3
	22			22/7	11/3	22/5
	23			46/15	46/13	46/11
	24			3	24/7	4
	25				10/3	50/13
	26				13/4	26/7
	27				54/17	18/5
	28				28/9	7/2
	29				58/19	58/17
	30				3	10/3
	31					62/19
	32					16/5
	33					22/7
	34					34/11
	35					70/23
	36					3

Ułamkowe wartości k prowadzą do pierścieni, w których wieloboki wielokrotnie nakrywają się częściowo.
Tabela zawiera kilka odsyłaczy z przykładami.

2. Ułożenia demiregularne

3. Przekształcenia ułożeń

4. Multi pierścienie

E-Mail: info@3doro.de

Stand: 15.01.2008

Startseite