Dodekaeder in einer Raumfüllung?
Ist das machbar? 


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Das Dodekaeder ist der vierte platonischer Körper (kurz P4). Wenn wir an jeder Seitenfläche eines Dodekaeders ein gleiches Dodekaeder ankleben erhalten wir ein Cluster aus 13 Dodekaedern, der kleine Spalten aufweist.

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Das liegt daran,  dass der dihedrale Winkel (Winkel zwischen zwei Seitenflächen) im Dodekaeder nur 116,565° beträgt. Es fehlt also nur 3,435° zu 120°, dann hätte der Dodekaeder-Cluster keine Spalten.


Weaire-Phelan-Struktur

Im Jahre 1993 haben Weaire und Phelan eine Struktur (Raumfüllung) gefunden, mit modifizierten Dodekaedern (sechs Kanten sind länger) und mit 14-Flächner (tetradecaeder)  mit Tetraeder-Symmetrie.
In dieser Struktur haben die irreguläre Dodekaeder (blau auf dem Bild unten) keine gemeinsamen Punkte.

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Doro-Dodeka-Struktur

Neulich habe ich eine andere Struktur mit modifizierten Dodekaedern gefunden.
Wir wählen zwei gegenüberliegende Ecken eines regulären Dodekaeders und modifiezieren die sechs Fünfecke an diesen Ecken so, dass der dihedrale Winkel 120° beträgt.

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Vier solche Dodekaeder bilden einen Cluster mit Tetraeder Symmetrie. 

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Diese Cluster bilden eine infinite Struktur  nach dem Schema der Diamantstruktur.

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Die Zwischenräume in dieser Struktur kann man mit einer einzigen Form ausfüllen - mit einem abgeschrägten Catalan-Polyeder, das den englischen Namen 'Truncated Triakistetraeder'  trägt. Kurz wird es hier tC1 genannt.
Es ist ein 16-Flächner (12 irreguläre Fünfecke und 4 irreguläre Sechsecke).

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Diese Polyeder bilden die zweite infinite Struktur, die auch nach dem Schema der Diamantstruktur gebaut ist.

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Beide infinite Strukturen interpenetrieren sich und füllen den Raum lückenlos aus.

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Unten der kleinere Ausschnitt dieser Raumfüllung.

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Bemerkung:

In der Weaire-Phelan-Struktur haben die beiden 'Prototiles' das gleiche Volumen. In der Doro-Dodeka-Struktur ist das Volumen des 16-Flächners etwa doppelt so groß wie das Volumen des 12-Flächners. 

Man kann die beide Prototiles so modifizieren, dass deren Volumen gleich ist und die Kelvin-Vermutung erfüllt wird. Das Dodekaeder wird flacher:

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Entsprechend wird der 16-Flächner modifiziert:

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Die Raumfüllung sieht dann so aus:

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Bemerkung II:

Bekannt ist eine reguläre Raumfüllung mit Dodekaedern, aber mit drei Prototiles: mit dem regelmässigen Dodekaeder, dem Kubus und  mit der s.g. Bilunabirotunda - das ist das Johnson-Polyeder J91.


© Tadeusz E. Dorozinski, September 2015

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