Konvexe Vielecke und deren Anzahl in Ringen
Die Ebene
kann man radial ringförmig mit konvexen N-Ecken bedecken, wobei N > 5.
Unten ein Beispiel für N = 7.
Das
mittlere Siebeneck ist von einem Ring von sieben Siebenecken (Heptagonen)
umgeben.
Der zweite Ring besteht aus 21 Siebenecken, der dritte aus 56, der vierte aus
147 und so weiter.
Wie viele Siebenecke beinhaltet der n-te Ring?
* * *
Diese Parkettierung lässt sich in sieben Sektoren aufteilen und es reicht wenn wir die Siebenecke nur in einem Sektor und in jedem Ring zählen.
Hier haben wir ensprechend: 1, 3, 8, 21, 55 usw. Siebenecken.
Für den n-ten Ring inerhalbs des Sektors erhalten wir:
a(n) = 3a(n - 1) - a(n - 2)
wobei n>2, a(1) = 1 und a(2) = 3.
Daraus ergibt sich:
1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765 ...
Es ist die Folge A001906 in OEIS und es ist die Bisektion der Fibonacci-Folge (jeder zweite Wert).
Der
Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen dieser Folge nähert sich
dem Quadrat der
kleinen Goldenen Zahl φ an.
Also:
wo fn die n-te Zahl der Fibonacci-Folge ist.
Mit Sechsecken ist es sehr einfach.
Hier die enstsprechende Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen, also 1, 2, 3, 4, 5 ...
Dabei
a(n) = 2a(n - 1) - a(n - 2)
wobei n>2, a(1) = 1 und a(2) = 2.
Im Allgemeinfall, für beliebigen N, haben wir:
a(n) = (N-4) * a(n - 1) - a(n - 2)
wobei n>2, a(1) = 1 und a(2) = N-4.
* * *
Die Folge für N = 8 (Folge A001353 in OEIS):
1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316 ...
Hier der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen der Folge hat diese Formel:
Das ist tan(15°) = 2 - SQRT(3).
Für N = 9 (Folge A004254 in OEIS):
1, 5, 24, 115, 551, 2640, 12649, 60605, 290376, 1391275 ...
Hier der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen der Folge hat diese Formel:
Das ist: 0,208712 = 0,5(5-SQRT(21)).
Stand: 27.02.2013
© Tadeusz E. Dorozinski
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